Grafy
Grafy
Grafy
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
vrcholygrafu G.Vidíme,že T jemaximálníacyklickýgraf,tj.podleVěty4(iv), T je<br />
kostragrafu G.Našímúkolemzůstáváukázat,žejeminimální.<br />
Symbolem T ′ označímetuzminimálníchkostergrafu G,kterásesTshodujevnejvíce<br />
hranáchadokážeme,že T= T ′ .<br />
Předpokládejme,že T = T ′ .HranyvTjsmevybíralipostupněpodlealgoritmuanechť<br />
e=uvjeprvníhranavT,kteránepatřído T ′ .Ovšemvrcholy u,vdo T ′ patří,neboť<br />
T ′ jekostra.PodleVěty4(iii)existujejedinácesta P ⊂ T ′ spojující uav.Tatocesta<br />
musíobsahovatalespoňjednuhranu,nazvěmeji e ′ ,kteránepatřído T,neboťpakbyvT<br />
existovalakružnice.<br />
Patřila e ′ mezikandidátyvkroku,kdyjsmevybíralihranu e?Hrana ejeprvníhranou<br />
v T,kteránepatřído T ′ ,tj.všechnydřívevybranéhranydo T ′ patří.Protoeventuálním<br />
přidánímhrany e ′ ktěmtodosudvybranýmnemůževzniknoutkružnice,neboť T ′ jestrom.<br />
Takže e ′ bylamezimožnýmikandidátynavýběr.Protožejsmealevybralihranu e,platí<br />
w(e) ≤ w(e ′ ).<br />
Nynípozměnímeminimálníkostru T ′ následovně:odeberemeodníhranu e ′ amísto<br />
nípřidámehranu e.Vzniklýgraf Tjeopětkostra,kterádíkyvýměněhran eae ′ splňuje<br />
w( T) ≤ w(T ′ ).Jejasné,žeostránerovnostnastatnemůže,neboť T ′ jekostrasminimální<br />
váhou,takže w( T)=w(T ′ ).Kostra T jetakéminimálníanavícmásT vícespolečnýchhrannež<br />
T ′ .Tentosporuzavírádůkaz,že T= T ′ ,atedy T jeopravduminimální<br />
kostra. <br />
Minimálníkostrudávajíidalšíalgoritmy.Např.Primůvalgoritmus,kterýselišíod<br />
Kruskalovatím,žedalšíhranasminimálnímohodnocenímsenavícberejenzhranvycházejícíchzvrcholuužčástečněvytvořenéhostromu.JemožnérovněžKruskalůvpostup<br />
vjistémsmysluobrátit:Zgrafupostupněvynechávámehranysnejvyššímohodnocením,<br />
pokudjejichvypuštěnímzůstávágrafsouvislý.Nakoncidostanememinimálníkostru.<br />
Párování<br />
Příklad.Napromočnímvečírkuje150studentů.Víme,žekaždádívkaseznás20hochy<br />
akaždýhochseznás20dívkami.Jemožnézevšechúčastníkůsestavittanečnípárytak,<br />
abysetanečníciznali?<br />
Povšimněmesi,žeaninevíme,zdajepočetdívekstejnýjakopočethochů.Kvyřešení<br />
tohotoproblémubudevhodnésispeciálnígraf,kterýdanousituaciznázorňuje,nějak<br />
pojmenovat.<br />
Definice.Graf G=(V,E)senazývábipartitní,jestližemnožinavrcholůsedározložitna<br />
dvěčásti, V = A ∪ B, A ∩ B= ∅,akaždáhranaspojujevrcholzAsvrcholemzB,tj.<br />
každáhranajetvaru e=ab,kde a ∈ Aab ∈ B.<br />
Naobrázkujsoupříkladybipartitníchgrafů.<br />
11
Change language