Grafy

10
Protože v − l=10 4 +1máme,že v=5 ·10 4 +6,atedypočetlidí,kteříobdrželidopis
je50005.Ztohosejich l=40005rozhodlořetězpřerušit.(Vtomtopříkladuvlastně
nepotřebujemepoužívatvzoreczVěty7.Jestliže10000lidíposlalodopisdál,takhood
nichobdrželo50000dalších+5,kteřídostalidopisodprvníhočlověkavřetězci.)
Představmesisilničnísíťmeziobcemidanéhookresu.Přidlouhotrvajícímsněžení
jetřebacestyprohrnovat.Jakécestykprohrnovánívybrat,abyseminimalizovalpočet
upravovanýchcestapřitomupravenécestyspojovalikaždédvěobce?
Definice.Kostragrafu Gjekaždýstrom T ⊂ Gobsahujícívšechnyvrcholygrafu G.
Snadnovidíme,žepokud Gmákostru,jenutněsouvislý.Obráceně,máme-lisouvislý
graf Gpaknejmenší(tj.sminimálnímpočtemhran)souvislýpodgraf Tobsahujícívšechny
vrcholyjehledanákostra.PodleVěty4(ii)jetotižtakovýminimálnígraf Tstrom.Vidíme,
žegraf Gmákostruprávě,kdyžjesouvislý.
Kolikrůznýchkostermá K4?(12)KolikjeneizomorfníchkostervK4?(2)
Kostrapředstavujenejekonomičtějšípropojenívšechvrcholůgrafu.Takovýchkoster
jevgrafuvíceajsouvzásaděrovnocené.Situacesezmění,pokudkaždéhraně egrafu
připíšemejistéohodnocení,tj.nezápornéčíslo w(e),abudemechtítnaléztkostruproníž
jesoučetohodnoceníjejíchhranminimální.Praktickývýznamtakovésituacejezřejmý:
vrcholygrafupředstavujínapř.obcečiměsta,kteráchcemepropojitželezničními,potrubníminebonějakýmikomunikačnímispojiaohodnoceníhranznamenánákladyvynaložené
kvybudováníjednotlivýchspojení.Matematickýpopisjevnásledujícídefinici.
Definice. Mějmegraf G =(V,E). Zobrazení w: E −→ 〈0, ∞)senazýváohodnocení
grafu Gačíslo
w(G)=
w(e)
váhougrafu G.Kostrugrafu Gsminimálníváhoubudemenazývatminimálníkostra.
Existenceminimálníkostryjejasná,neboťvgrafu Gjepouzekonečněmnohokoster
ajedna(neboivíce)znichmusímítminimálníváhu.Covšakneníjasnéjedůležitá
optimalizačníúloha,jakvdanémsouvislémgrafuminimálníkostrunalézt.
Věta8.(Kruskalůvalgoritmus)Mějmesouvislýgraf G=(V,E)sohodnocením w.Následujícíalgoritmusvytváříminimálníkostru
T grafu G.
(1) Zvoljakoukolihranu e0sminimálnímohodnocením,kteránetvořísmyčku.
e∈E
(2) Jsou-livybrányhrany e0,e1,... ,ek−1,vybermezizbývajícími E \ {e0,e1,...,ek−1}
hranu eksminimálnímohodnocenímtakovou,abyjejímpřidánímnevzniklakružnice.
(3) Aplikujbod(2)dokudtolze.
Důkaz. Nechť T ⊂ Gjegrafzkonstruovanýpodlealgoritmu.Jezřejmé,že Tneobsahuje
kružnici,neboťhranysedo Tpřidávalytak,abykružnicenevznikla.Konstrukcekončív
okamžiku,kdyžužnelzeprovéstkrok(2),cožspecielněznamená,že Tobsahujevšechny