Grafy

Základnípojmyzteoriegrafů.
Začnemenásledujícíúlohou.
Příklad.Napartyje37lidí.Paktammusíbýtněkdo,kdobylpředstavensudémupočtu
přítomnýchúčastníků.
První,conásnapadneje,zdačíslo37hrajevtétootázcenějakouroli.Kdybyúčastníků
bylonapř.jen36akaždýbylpředstavenkaždému,pakkaždýúčastníkbylpředstaven35
ostatním.Nikdotaknemohlbýtpředstavensudémupočtulidí.Tentoargumentukazuje,
žepočetvšechúčastníkůnesmíbýtsudý.Přeformulujemepříkladnanásledujícísilnější
tvrzení.
Příklad.Napartyjelichýpočetlidí.Paktammusíbýtněkdo,kdobylpředstavensudému
počtupřítomnýchúčastníků.
Nežsidokážemeplatnosttvrzenívpříkladu,znázornímesigrafickysituacilidínaparty
sohledemnajejichvzájemnépředstavení.Naobrázkubodyoznačujíúčastníkyaspojnice
mezinimivyznačujefakt,žesibylinavzájempředstaveni.Nespojenébodyznamenají,že
titoúčastnícisipředstaveninebyli.
Formalizacívýšenakreslenéhoobrázkujedefinicegrafu.
Definice. Graf G = (V,E) je uspořádaná dvojice množin V a E, kde V je jakákoli
neprázdnámnožinanazývanávrcholygrafu Ga
E ⊂ {u,v} u,v ∈ V
1

2
senazýváhranygrafu G.
Doplněk(komplement) G c grafu Gjegrafsestejnýmivrcholy,kdedvavrcholyjsou
spojenyhranouvG c právě,kdyžnejsouspojenyvpůvodnímgrafu G.
Předchozíobrázekjetedygraf,jehožvrcholyjsouúčastnícipartyadvavrcholyjsou
spojenyhranouprávě,kdyžodpovídajícíúčastnícisibylipředstaveni.Nadalšímobrázku
jsouukázkyjinýchmožnýchgrafů.
Jsou-li u,v ∈ V dvavrcholy,pakhrana,kterájespojuje,je e={u,v}.Projednoduchostbudemekroucenézávorkyvynechávatahranumezivrcholy
u,vznačit e=uv.
Mezidvěmavrcholymůževéstvícehrannebohranamůževycházetakončitvtémže
vrcholu(tzv.smyčka)jakonapř.druhýgrafnapředchozímobrázku.Graf,kterýneobsahuje
smyčkyakdedvarůznévrcholymohoubýtspojenynejvýšejednouhranou,senazývá
jednoduchý.
Definice. Mějmegraf G = (V,E). Stupeň vrcholu v ∈ V jepočet hran obsahujících
vrchol v.Značíse d(v).
Smyčka uvrcholu v přispívákestupni d(v) hodnotou2.Má-li jednoduchýgraf n
vrcholů,pakmaximálnístupeňkaždéhovrcholuje n −1.Graf,uněhožjetétomaximální
hodnotystupnědosaženovevšechvrcholechsenazýváúplnýabudemehoznačit Kn.Na
obrázkunížejsougrafy K2, K3aK6.Doplněk K c n úplnéhografujegraftvořenýpouze
vrcholy.Někdysetakovýgrafnazývádiskrétní.Napředchozímobrázkuje K c 3 třetígrafv
hornířadě.

Věta1.Mějmegraf G=(V,E).
(i) Součetstupňůvšechvrchlůgrafujerovendvojnásobkupočtuhran,tj.
d(v)=2|E|.
v∈V
(ii) Je-li Gjednoduchýa|V |=n,pak |E| ≤ n
2
arovnostnastáváprávě,když G=Kn.
Důkaz. (i)Sčítáme-listupněvšechvrcholůgrafu,počítámevlastně,kolikjekoncůhran.
Každáhranamádvakonce,protopočetkoncůvšechhranjedvojnásobekpočtuhran.
(ii)Protožehranajeurčenadvojicírůznýchvrchlů,jepočethranomezenpočtem
.
dvouprvkovýchpodmnožinvybranýchzmnožiny V,cožje n
2
Nynísevrátímekpříkladuoúčastnícíchparty.VzájemnépředstavovánímámeznázorněnopomocígrafuapronějplatítvrzeníVěty1(i).Vnašempřípaděmásumalichýpočet
sčítanců,alehodnotasoučtujezřejměsudá.Protonemohoubýtvšechnyčlenysumyliché.
Odtudvyplývá,žealespoňjedensčítanecjesudý,atedyvgrafuexistujevrcholsesudým
stupněm.Atentovrcholreprezentujehledanéhoúčastníkaparty,kterýbylpředstaven
sudémupočtuúčastníků.
Definice. Graf G ′ =(V ′ ,E ′ )nazývámepodgraf grafu G=(V,E),jestliže V ′ ⊂ V a
E ′ ⊂ E.Zapisujeme G ′ ⊂ G.
Příkladypodgrafůjsounanásledujícímobrázku.
3

4
Druhýpodgrafjevelmispeciálníneboťtvoříjakousicestupřísušnýmgrafemodjednoho
vrcholukedruhému.Dvadruhytakovýchpodgrafůsioznačímejménem.
Definice. Cesta P vgrafu G=(V,E)jeposloupnoststřídavěseskládajícízvrcholůa
hran,
P=(v0,e1,v1,e2,... ,ek,vk),
kde ei= vi−1vijsouhranya{v0,v1,... ,vk} ⊂ V jsounavzájemrůznévrcholy.Přidáme-li
k P navíchranu vkv0,vznikneuzavřenácestanazývanákružnicenebotakécyklus.
Tah Wvgrafu Gjeposloupnoststřídavěseskládajícízvrcholůahran,
kde ei= vi−1vijsounavzájemrůznéhrany.
W=(v0,e1,v1,e2,...,ek,vk),
Protožecestavgrafuprocházínavzájemrůznýmivrcholy,nemůžepoužítžádnouhranu
dvakrát.Každácestajetedyitah.
Pomocípojmucestavgrafumůžemezavéstjinoudůležitoucharakteristiku,atoje
souvislostgrafu.
Definice.Graf Gjesouvislý,jestližeprokaždédvavrcholyexistujecestavG,kteráje
spojuje.Každýmaximálnísouvislýpodgrafgrafu Gsenazývákomponentasouvislosti.
Naobrázkujepříkladsouvisléhoanesouvisléhografu.Nesouvislýgrafmátřikomponentysouvislosti.
Abygrafbylsouvislý,musímít“dostatečný” počethran.Položme siotázku,jaký
jevztahmezisouvislostígrafuapočtemjehohran.Jsoudvěmožnévarianty.Je-ligraf
souvislý,kolik musímítnutněhran?Anaopak,jakýpočethrangrafusivynutíjeho
souvislost?OdpovědijsouvnásledujícíVětě2.
Věta2.Mějmegraf G=(V,E).Pakplatí
(i) Je-li Gsouvislý,pak |E| ≥ |V | −1.
(ii) Je-li Gjednoduchýamá-livícenež |V |−1
2
hran,jesouvislý.
Důkaz. (i)Důkazprovedemematematickouindukcípodlepočtuhran.
(1) Je-li |E|=1,paksouvislýgrafojednéhranězřejměnemůžemítvíceneždvavrcholy.
Tedy |V | ≤2=|E|+1,tj. |E| ≥ |V | −1.

(2) Předpokládejme,ženerovnostplatíprografy,jejichžpočethranje kachcemetuto
nerovnostdokázatprografys|E|=k+1.Mějmesouvislýgrafsk+1hranami.
Uvážímedvapřípady:
(a) Grafobsahujekružnici.Uberemezgrafu Ghranu,kterábylasoučástíkružnice.
Vzniklýgrafjeopětsouvislý,mástejnýpočetvrcholů,alejen khran.Podle
indukčníhopředpokladuje
|V | −1 ≤ k=|E| −1 ≤ |E|.
(b)Grafneobsahujekružnici.Označmesi P nejdelšícestuvgrafu Ganechť uje
počátečnívrcholcesty P.Pakstupeňvrcholu umusíbýt1:vopačnémpřípadě
byexistovalahrana e=uv /∈ P ajejímpřidánímbychomvytvořilibuďcestu
delšínež P(pokud v /∈ P)nebokružnici(pokud v ∈ P).Odstraněnímvrcholu
uspolushranou,kterádonějvede,vznikneopětsouvislýgrafs|V |−1vrcholy
askhranami.Podleindukčníhopředpokladupronějplatí
(|V | −1) −1 ≤ k= |E| −1, tj. |E| ≥ |V | −1.
(ii)Předpokládejme,žepočethranje |E| > |V |−1
2 ,apřestografnenísouvislý,tj.
existujíalespoňdvěkomponentysouvislosti.Označmesi V1vrcholyjednézkomponent
sovislostiaV2= V \ V1.PakžádnáhrananespojujevrcholyzV1svrcholyzV2.Je-li
|V1|=ka |V2|=|V | − k,kde1 ≤ k ≤ |V | −1,pakpodleVěty1(ii)platí,že
|E| ≤
k
+
2
|V | − k
= k
2
2 − k|V |+
|V |(|V | −1)
.
2
Poslednívýrazjekvadratickývkanabývásvéhomaximavkrajníchbodechintervalu
1 ≤ k ≤ |V | −1.Pro k=1ipro k=|V | −1mástejnouhodnotuato |V |−1
2 .Tím
,cožjespor.
dostávámeodhad |E| ≤ |V |−1
2
Eulerovskégrafy.
Definice.Grafnazvemeeulerovský,jestliževněmexistujetahobsahujícívšechnyhrany.
Takovýtahněkdyoznačujemejakoeulerovskýtah.
Eulerovskýgrafsimůžemeintuitivněpředstavitjakograf,kterýlzenakreslitjedním
tahem,anižbychomnějakouhranoumuseliprojítvícekrát.
EulerovskýgrafjenazvánpoL.Eulerovi,kterývroce1736charakterizoval právě
takovégrafy.KtétootázcehopřivedlahádankaosedmimostechvměstěKönigsberg
(vizobrázekníže),kdeseměšťanéKönigsbergusnažilizjistit,zdajemožnésinaplánovat
procházkupovšechmostechtak,abyprošlivšechnymostyprávějednou.Situacejena
obrázkuníže.
5

6
Schématickypomocígrafujsoumostnípropojenínásledovná:
Řešenítétohádankyjeobsaženovnásledujícívětě.
Věta3.Souvislýgrafjeeulerovskýprávě,kdyžvšechnyvrcholymajísudýstupeňsjedinou
možnouvýjimkoudvouvrcholů.
Důkaz. Mějmegraf,vekterémexistujetah obsahujícívšechnyhrany.Je-litento tah
uzavřený,tj.začíná-liakončívestejnémvrcholu,pakpřikaždémprůchodujakýmkoli
vrcholemjednouhranouvstupujemeadruhouvystupujeme.Stupeňtakovéhovrcholuje
tedysudý.Má-litahzačátekakonecvrůznýchvrcholech,paktojsouprávětyjediné
vrcholymajícílichýstupeň.
Důkaz opačnéimplikace provedemenejprvepropřípadsouvisléhografu,kterýmá
všechnyvrcholysudéhostupně.Vezmemesivtomtografutah
W=(v0,e1,v1,... ,ek,vk)
maximální možné délky. Protože tah W již nelze prodloužit, musíobsahovat všechny
hranyvycházejícízvrcholu vk.Kdybytah W nebyluzavřený,tj.kdyby v0 = vk,pak
stupeňvrcholu vkbybyllichýdíkyposlednímukrokuvtahu W.Protoževšechnystupně
jsousudé,dostáváme,žetah Wjenutněuzavřený.Zbývásiuvědomitposlednívěc,že W
jeeulerovský,tj.obsahujevšechnyhranygrafu.Vopačnémpřípaděbyexistovalahrana e,
kteránenáležítahu W,alepřitomvycházíznějakéhovrcholu viležícímuna W.Nazvěme
ji e=uvi.Pakovšemtah
jeojedenkrokdelšínež W,cožjespor.
(u,e,vi,ei+1,vi+1,... ,ek,vk= v0,e1,... ,ei,vi)

Předpokládejmenyní,žesouvislýgrafmákromědvouvrcholů u,vvšechnyostatní
vrcholysudéhostupně.Přidámekegrafunavíchranu e=uv.Tentonovýgrafmávšechny
vrcholysudéhostupněapodledokázanépředchozíčástivněmexistujeuzavřenýeulerovský
tah W.Odebereme-liod Wumělepřidanouhranu e,dostanemeeulerovskýtahvpůvodním
grafu.
Stromy
Definice.Grafneobsahujícíkružnicesenazýváacyklický.Stromjesouvislýacyklickýgraf.
Příkladystromůjsounanásledujícímobrázku.
Běžnýpříkladstromujetzv.genealogickýstrom,kterýzachycujeposloupnostarozvětvováníčlenůrodinyodzakladatelekpotomkům.
Můžemesipovšimnout,žegraf G,kterýjeacyklickýanenísouvislý,mázakomponenty
souvislostistromy.Plynetoztoho,žekomponentajakopodgrafacyklickéhografunemůže
obsahovatkružnici(atedyjeacyklická)apřitomjesouvislá.Takovýgrafseněkdynazývá
les.
Stromlzeekvivalentěpopsatijinýmivlastnostmi,kteréjsouoněconázornější.
Věta4.Mějmegraf G=(V,E).Paknásledujícítvrzeníjsouekvivalentní.
(i) Gjestrom.
(ii) Gjeminimálnísouvislý,tj. Gjesouvislýavynechánímjakékolihranyvzniknenesouvislýgraf.
(iii) Mezikaždýmidvěmavrcholyexistujejedinácesta,kterájespojuje.
(iv) Gjemaximálníacyklický,tj. Gjeacyklickýapřidánímjakékolinovéhranyvznikne
kružnice.
Důkaz. (i) ⇒(ii)Protožestromjezdefinicesouvislýgraf,kověření(ii)zbýváukázat,
žeodebránímjakékolihranyvzniknenesouvislýgraf.Odebermehranu e=uvzgrafu G.
Kdybyzůstalsouvislý,pakvněmexistujecesta P spojujícívrcholy uav.Tatocestas
přidanouhranou ebyvpůvodnímgrafu Gvytvořilakružnici,cožnelze.
(ii) ⇒(iii)Předpokládejme,žegrafmávlastnost(ii),apřestovněmexistujívrcholy
uavspojenédvěmarůznýmicestami P1a P2.Označme wprvnívrchol,vekterémsepři
7

8
postupuzucesty P1a P2rozejdou,tj.existujíhrany e1ae2vycházejícízw, e1 = e2a
e1 ∈ P1a e2 ∈ P2.Pakvynechánímhrany e1zgrafu Gneporušímejehosouvislost.
(iii) ⇒(iv)Jezřejmé,žegrafmajícívlastnost(iii)nemůžeobsahovatkružnici,neboť
libovolnédvavrcholyležícínatétokružnicibybylomožnéspojitdvěmarůznýmizpůsoby.
Zbývásiuvědomit,žepřidánímjakékolihranydografu Gkružnicevznikne.Přidejmetedy
do Gnovouhranu e=uvspojujícívrcholy uav.Protože Gmávlastnost(iii),musíbýt
souvislý,atedyvrcholy u,vbylyvpůvodnímgrafuspojenycestou P.Dodáme-likPještě
novouhranu e,vzniknekružnice.
(iv) ⇒(i)Ografu Gvíme,žejeacyklický,stačítedydokázatjehosouvislost.Kdyby
uavpatřilydorůznýchkomponentgrafu G,pakpřidánímhrany uvnemůževzniknout
kružnice.Proto Gjesouvislý.
Kpředchozívětěpřidámeještějednuvlastnoststromu,kterájesicesnadnoodvoditelná,nicméněpatříkvelmidůležitým.
Věta5.Každýstromsalespoňdvěmavrcholymáalespoňdvavrcholysestupněmjedna.
Důkaz. Uvažujmevestromucestu P maximálnídélky.Pakjejíkoncovévrcholyjsou
právěhledanévrcholystupnějedna.Ktomusistačíuvědomit,žekdybynapř.koncový
vrcholmělstupeňvícnežjedna,pakmusíexistovathrana e /∈ P,jejímžpřidánímkP
bychomdostalicestudelšínebobyvzniklakružnice.Anijednovšaknenímožné.
Nakonecsipoložmeotázku,kolikmástromhran?Jakoukaždéhosouvisléhografu,
počethranzávisísamozřejměnapočtuvrcholů,vizVětu2,anadalšíchvlastnostechgrafu.
Ustromu,poněkudpřekvapivě,počethranzávisípouzenapočtuvrcholů.
Věta6.Každýstromsnvrcholymá n −1hran.
Důkaz. Důkazprovedemeindukcípodlepočtuvrcholů.Má-listrompouzejedenvrchol,
paknemůžemítžádnouhranu,neboťjedináhranapřicházejícívúvahujesmyčka,ataby
vytvořilakružnici.
Předpokládejme,žetvrzeníplatíprostromysnvrcholyamějmestrom Gsn+1
vrcholy.PodleVěty5existujevrchol u,jehožstupeňjejedna.Odebránímvrcholu uspolu
shranou,kterédonějvede,dostanemeopětsouvislýgrafbezkružnice,tj.strom.Protože
má nvrcholů,podleindukčníhopředpokladuma n −1hran.Odtudplyne,žepůvodní
strom Gmá nhranadůkazjeuzavřen.
Definice.Kořenovýstromjestrom,ukteréhojejedenvrcholoznačenjakokořen.
Tím,žeoznačímejedenvrcholzakořen,zavádímeautomatickydostromunásledující
uspořádánímezivrcholy.ProtožepodleVěty4(iii)vedezkořenedojakéhokolivrcholu
právějedinácesta,mámemezivrcholynatétocestězavedenypojmynásledník vrcholu
apředchůdcevrcholu.Obvyklepakkreslímekořenovéstromytak,žekořenumístímenahoruahranysměřujíodnějdolů.Vrchol,kterýnemánásledníkasenazýválist.Jetřeba
podotknout,žerůznýmivolbamikořenevznikajírůznékořenovéstromy,vizobrázek.

Kořenovéstromysloužíjakomodelyvmnohasituacích.Nejběžněšjšíjsounapř.strukturaorganizace,kdevrcholoznačujepozicivdanéorganizaciahranypaknadřízenostči
podřízenosttěchtopozic.Jinýpříkladjeuspořádánísouborůvpamětipočítače.Kořen
odpovídáhlavnímuadresáři,vrcholypodadresářůmalistyjednotlivýmsouborům.
Definice.Kořenovýstromsenazývá n-ární,jestližekaždývrcholmánejvýše nnásledovníků.Má-likaždývrchol,kterýnenílist,přesně
nnásledovníků,nazývámetakovýstrom
plně n-ární.
Mezipočtemvrcholůapočtemlistůplně n-árníhostromujejednoduchývztah.
Věta7.Plně n-árnístromsllistymá(nl −1)/(n −1)vrcholů.
Důkaz. Označmesipočetvrcholů v.Každývrchol,kterýnenílistmá nnásledníků.Počet
takovýchnásledníkůjetím n(v−l).Zbývápřidatvrchol,kterýnenínásledník,atojekořen.
Tímdostávámecelkovýpočetvrcholů v= n(v − l)+1.Odtudjižplynetvrzení.
Příklad.Jistýčlověkpošle5lidemdopisžádajícíje,abyhookopírovaliaposlalidalším5.
Někteřítoučiní,jiníhohodídokoše.
(i) Koliklidídostalotakovýdopis,víme-li,žecelýřetězskončilpoté,co73lidíhodilo
dopisdokošeapředpokládáme-li,ženikdonedostaltakovýdopisdvakrát.
(ii) Jestliže10000lidíposlalodopisběhemtrváníceléhoposílacíhořetězce,koliklidí
obdrželodopisakoliksejichrozhodlodopisydáleneposílat?(Stálepředpokládáme,
ženikdonedostalvícenežjedendopis.)
(i)Situacimodelujemepomocí5-árníhostromu,okterémvíme,žemá73listů.Podle
Věty7jepočetvrcholů91.Odečteme-liprvníhočlověka,pakmáme,žedopisdostalo90
lidí.
(ii)Početlidí,kteříobdrželidopisjepočetvrcholůpříslušného5-árníhostromubez
kořene.Vztahmezipočtemvrcholů valistů lje
v= n(v − l)+1.
9

10
Protože v − l=10 4 +1máme,že v=5 ·10 4 +6,atedypočetlidí,kteříobdrželidopis
je50005.Ztohosejich l=40005rozhodlořetězpřerušit.(Vtomtopříkladuvlastně
nepotřebujemepoužívatvzoreczVěty7.Jestliže10000lidíposlalodopisdál,takhood
nichobdrželo50000dalších+5,kteřídostalidopisodprvníhočlověkavřetězci.)
Představmesisilničnísíťmeziobcemidanéhookresu.Přidlouhotrvajícímsněžení
jetřebacestyprohrnovat.Jakécestykprohrnovánívybrat,abyseminimalizovalpočet
upravovanýchcestapřitomupravenécestyspojovalikaždédvěobce?
Definice.Kostragrafu Gjekaždýstrom T ⊂ Gobsahujícívšechnyvrcholygrafu G.
Snadnovidíme,žepokud Gmákostru,jenutněsouvislý.Obráceně,máme-lisouvislý
graf Gpaknejmenší(tj.sminimálnímpočtemhran)souvislýpodgraf Tobsahujícívšechny
vrcholyjehledanákostra.PodleVěty4(ii)jetotižtakovýminimálnígraf Tstrom.Vidíme,
žegraf Gmákostruprávě,kdyžjesouvislý.
Kolikrůznýchkostermá K4?(12)KolikjeneizomorfníchkostervK4?(2)
Kostrapředstavujenejekonomičtějšípropojenívšechvrcholůgrafu.Takovýchkoster
jevgrafuvíceajsouvzásaděrovnocené.Situacesezmění,pokudkaždéhraně egrafu
připíšemejistéohodnocení,tj.nezápornéčíslo w(e),abudemechtítnaléztkostruproníž
jesoučetohodnoceníjejíchhranminimální.Praktickývýznamtakovésituacejezřejmý:
vrcholygrafupředstavujínapř.obcečiměsta,kteráchcemepropojitželezničními,potrubníminebonějakýmikomunikačnímispojiaohodnoceníhranznamenánákladyvynaložené
kvybudováníjednotlivýchspojení.Matematickýpopisjevnásledujícídefinici.
Definice. Mějmegraf G =(V,E). Zobrazení w: E −→ 〈0, ∞)senazýváohodnocení
grafu Gačíslo
w(G)=
w(e)
váhougrafu G.Kostrugrafu Gsminimálníváhoubudemenazývatminimálníkostra.
Existenceminimálníkostryjejasná,neboťvgrafu Gjepouzekonečněmnohokoster
ajedna(neboivíce)znichmusímítminimálníváhu.Covšakneníjasnéjedůležitá
optimalizačníúloha,jakvdanémsouvislémgrafuminimálníkostrunalézt.
Věta8.(Kruskalůvalgoritmus)Mějmesouvislýgraf G=(V,E)sohodnocením w.Následujícíalgoritmusvytváříminimálníkostru
T grafu G.
(1) Zvoljakoukolihranu e0sminimálnímohodnocením,kteránetvořísmyčku.
e∈E
(2) Jsou-livybrányhrany e0,e1,... ,ek−1,vybermezizbývajícími E \ {e0,e1,...,ek−1}
hranu eksminimálnímohodnocenímtakovou,abyjejímpřidánímnevzniklakružnice.
(3) Aplikujbod(2)dokudtolze.
Důkaz. Nechť T ⊂ Gjegrafzkonstruovanýpodlealgoritmu.Jezřejmé,že Tneobsahuje
kružnici,neboťhranysedo Tpřidávalytak,abykružnicenevznikla.Konstrukcekončív
okamžiku,kdyžužnelzeprovéstkrok(2),cožspecielněznamená,že Tobsahujevšechny

vrcholygrafu G.Vidíme,že T jemaximálníacyklickýgraf,tj.podleVěty4(iv), T je
kostragrafu G.Našímúkolemzůstáváukázat,žejeminimální.
Symbolem T ′ označímetuzminimálníchkostergrafu G,kterásesTshodujevnejvíce
hranáchadokážeme,že T= T ′ .
Předpokládejme,že T = T ′ .HranyvTjsmevybíralipostupněpodlealgoritmuanechť
e=uvjeprvníhranavT,kteránepatřído T ′ .Ovšemvrcholy u,vdo T ′ patří,neboť
T ′ jekostra.PodleVěty4(iii)existujejedinácesta P ⊂ T ′ spojující uav.Tatocesta
musíobsahovatalespoňjednuhranu,nazvěmeji e ′ ,kteránepatřído T,neboťpakbyvT
existovalakružnice.
Patřila e ′ mezikandidátyvkroku,kdyjsmevybíralihranu e?Hrana ejeprvníhranou
v T,kteránepatřído T ′ ,tj.všechnydřívevybranéhranydo T ′ patří.Protoeventuálním
přidánímhrany e ′ ktěmtodosudvybranýmnemůževzniknoutkružnice,neboť T ′ jestrom.
Takže e ′ bylamezimožnýmikandidátynavýběr.Protožejsmealevybralihranu e,platí
w(e) ≤ w(e ′ ).
Nynípozměnímeminimálníkostru T ′ následovně:odeberemeodníhranu e ′ amísto
nípřidámehranu e.Vzniklýgraf Tjeopětkostra,kterádíkyvýměněhran eae ′ splňuje
w( T) ≤ w(T ′ ).Jejasné,žeostránerovnostnastatnemůže,neboť T ′ jekostrasminimální
váhou,takže w( T)=w(T ′ ).Kostra T jetakéminimálníanavícmásT vícespolečnýchhrannež
T ′ .Tentosporuzavírádůkaz,že T= T ′ ,atedy T jeopravduminimální
kostra.
Minimálníkostrudávajíidalšíalgoritmy.Např.Primůvalgoritmus,kterýselišíod
Kruskalovatím,žedalšíhranasminimálnímohodnocenímsenavícberejenzhranvycházejícíchzvrcholuužčástečněvytvořenéhostromu.JemožnérovněžKruskalůvpostup
vjistémsmysluobrátit:Zgrafupostupněvynechávámehranysnejvyššímohodnocením,
pokudjejichvypuštěnímzůstávágrafsouvislý.Nakoncidostanememinimálníkostru.
Párování
Příklad.Napromočnímvečírkuje150studentů.Víme,žekaždádívkaseznás20hochy
akaždýhochseznás20dívkami.Jemožnézevšechúčastníkůsestavittanečnípárytak,
abysetanečníciznali?
Povšimněmesi,žeaninevíme,zdajepočetdívekstejnýjakopočethochů.Kvyřešení
tohotoproblémubudevhodnésispeciálnígraf,kterýdanousituaciznázorňuje,nějak
pojmenovat.
Definice.Graf G=(V,E)senazývábipartitní,jestližemnožinavrcholůsedározložitna
dvěčásti, V = A ∪ B, A ∩ B= ∅,akaždáhranaspojujevrcholzAsvrcholemzB,tj.
každáhranajetvaru e=ab,kde a ∈ Aab ∈ B.
Naobrázkujsoupříkladybipartitníchgrafů.
11

12
Definice.PárovánívG=(V,E)jetakovápodmnožinahran F ⊂ E,žežádnédvěhrany
z Fnemajíspolečnývrchol.
Je-ligraf G=(V,E)bipartirní, V = A ∪ B,pakúplnépárovánízAdo Bjetakové
párování F ⊂ E,žezkaždéhovrcholumnožiny Avedenějakéhranapárování F.
Grafynaobrázkupředdefinicímajípárování,avšakzatímcoprvníznichmáúplné
párovánízAdo B,udruhéhotakovéúplnépárováníneexistuje.Projednoduššíformulacivětyoexistenciúplnéhopárováníbudehodnésizavéstnásledujícíoznačení.Mějme
podmnožinu S ⊂ V množinyvrcholů.Symbol N(S)označujevšechnyvrcholy,kteréjsou
hranouspojenysnějakýmvrcholemvmnožině S.Volněřečeno,do N(S)dámevšechny
vrcholy,kteréjsousousedynějakéhovrcholuzS.
Věta9.Mějmebipartitnígraf G=(V,E),kde V = A ∪ B.Pakexistujeúplnépárování
z Ado Bprávě,kdyžprokaždoupodmnožinu S ⊂ Aplatí
(*) |S| ≤ |N(S)|.
Důkaz. Předpokládejmenejprve,že F ⊂ EjeúplnépárovánízAdo Bamějme S ⊂ A
libovolnou.Každáhranapárování Fspojujevrcholzmnožiny SsvrcholemvN(S),proto
jevN(S)alespoňtolikprvkůjakovS.
Obrácenouimplikacibudemedokazovatindukcípodlevelikostimnožiny A.Předpokládejme,ževbipartitnímgrafuplatípodmínka(*).
(1) |A|=1,tj. A={a}.Protože |N(A)| ≥1,spojímevrchol aslibovolýmvrcholem
b ∈ N(A)ahledanépárováníseskládáztétojedinéhrany ab.
(2) Předpokládámenyní,žetvrzeníplatíkdykoli |A| ≤ nauvažujemebipartitnígrafs
|A|=n+1.Mohounastatdvapřípady:
(a) Prokaždouneprázdnoumnožinu S ⊂ Aplatívpodmínce(*)ostránerovnost,
|S| < |N(S)|.Vtompřípaděspojímelibovolnývrchol a ∈ Asnějakýmvrcholem
b ∈ N(a)apakobavrcholyspolusevšemihranami,kterédonichvedouzgrafu
vypustíme.Vzniknegraf,kde |A| = n,stálesplňujícípodmínku(*).Podle
indukčníhopředpokladuvněmexistujeúplnépárování,kterédodánímhrany
abvytvoříúplnépárovánívpůvodnímgrafu.

(b)Existujepodmnožina S ⊂ Ataková,že
|S|=|N(S)|.
Uvažujeme-libipartitnípodgrafsvrcholy S a N(S),paksplňujepodmínku
(*),neboťjisplňujecelýgraf.Podleindukčníhopředpokladumátentopodgraf
úplnépárování F1z Sdo N(S).
Jaktovypadásezbytkemgrafu?Ověříme,žeionsplňujepodmínku(*).Zvolme
si mvrcholůvA \ S.Kdybybylyspojenysnejvýše m −1vrcholyvmnožině
B \ N(S),pakpřidánímtěchto mvrcholůkmnožině Sbychomdostalisituaci,
kdy m+|S|vrcholůjespojenosnejvýše m −1+|N(S)|=m −1+|S|vrcholy.
Cožovšemodporujepodmínce(*).Zjistilijsme,žeizbytekgrafuvyhovuje(*)
apodleindukčníhopředpokladuexistujeivtétočástigrafuúplnépárování F2.
Hledanéúplnépárováníje F= F1 ∪ F2.
ZVěty9vyplývákonečněpoznatek,kterýnámpomůžepřivyřešenísituacevpříkladu
nazačátkutohooddílu.
Věta10.Mějmebipartitnígraf G=(V,E),kde V = A ∪ B,takový,ževšechnyvrcholy
majístejnýstupeň d ≥1.Pak |A|=|B|aexistujeúplnépárovánízAdo B.
Důkaz. Ověříme,žegraf Gsplňujepodmínku(*)zVěty9.Mějme S ⊂ A.Ztétomnožiny
vedecelkovýpočet d|S|hran.Kdybytytohranykončilyvméněnež |S|vrcholechmnožiny
B,vedlobynutnědonějakéhovrcholumnožiny Bvícenež dhran,cožjesporsestupněm
vrcholu.
Podle Věty 9existuje úplnépárování z A do B.Tímale |A| ≤ |B|. Zesymetrie
celésituaceexistujerovněžúplnépárovánízB do A,atedy |B| ≤ |A|.Dohromady,
|A|=|B|.
Řešenípříkladu:Situacejeznázorněnabipartitnímgrafem,kdemnožina Apředstavuje
dívkyamnožina Bhochy.Hranyindikujívzájemnouznámost.StačínyníaplikovatVětu10
s d=20.
Ramseyovavěta
Vtétočástisebudemezabývatotázkou,jaképravidelnostisenutněmusíobjevitvkaždém
grafu,je-lidostatečněvelký.Specielněnásbudezajímat,zdasevtakovémgrafuobjeví
jakopodgrafbuďtoúplnýgraf Knnebojehodoplněk Kc n.Obvyklýmotivačnípříkladje,že
veskupiněšestilidísevždynajdoutři,kteřísemezisebounavzájemznajínebotři,kteří
sevůbecneznají.Vřečigrafůtoznamená,ževkaždémgrafuošestivrcholechexistuje
buďtrojúhelníknebotřivrcholy,mezinimižnevedežádnáhrana,vizcvičení(17).
Ekvivalentnělzeotázkuoexistenci Knnebo K c n
13
vdanémgrafu Gformulovattak,že
hranyvGobarvímejednoubarvouahrany,kterévGchybídoplníme,aleobarvímeje
jinoubarvou.Vyniknetakúplnýgraf,jehožhranyjsouobarvenydvěmarůznýmibarvami.
Problémnyníspočívávnalezeníúplnéhopodgrafu Knjehožvšechnyhranymajístejnou
barvu.Následujícívětajeformulovánaprávěvjazykuobarveníhran.

14
Věta11.(Ramsey)Prokaždé n ∈ Nexistuje N ∈ N,žejakýkoliúplnýgrafsalespoň N
vrcholy,jehožhranyjsoulibovolněobarvenydvěmarůznýmibarvami,obsahujejednobarevný
Knjakopodgraf.
Důkaz. Tvrzeníjetriviálnípro n=1,protouvažujme n ≥2.Hledanéčíslo Npoložíme
N=2 2n−3
aukážeme,ževkaždémúplnémgrafusalespoň N vrcholynajdeme Knjehožvšechny
hranymajístejnoubarvu.Barvy,kterébudemepoužívat,jsounapř.bíláamodrá.
Zvolmesijakoukolipodmnožinu V1 ⊂ V mající Nprvků, |V1|=N,alibovolnývrchol
v1 ∈ V1.Uvažujmeteďhrany,kteréspojují v1sostatnímivrcholyve V1.Protožemnožina
V1 \ v1málichýpočetprvků,buďbílýchhranjealespoňpolovinacelkovéhopočtuuvažovanýchhrannebomodrýchhranjealespoňpolovinacelkovéhopočtu,tj.jejichalespoň
2 2n−4 .Ztěchhran,kterýchjevětšinasijichvyberemepřesně2 2n−4 ,avrcholy,dokterých
vedou,označímejako V2.
Nynízvolímevrchol v2 ∈ V2libovolně.Podobnějakovýšeexistujebarva,žehranytéto
barvyspojují v2alespoňspolovinouostatníchvrcholůve V2.Zvrcholů,dokterýchtyto
hranyvedouvyberemepřesně2 2n−5 vrcholů,cožbudemnožina V3.
Taktopokračujemeažvytvoříme2n −2množin V1,V2,... ,V2n−2a2n −2vrcholů
v1,v2,... ,v2n−2takových,žeplatí
(i) vi ∈ Via |Vi|=2 2n−2−i , i=1,2,... ,2n −2;
(ii) Vi+1 ⊂ Vi \ {vi}, i=1,2,... ,2n −3;
(iii) vijespojenhranamistejnébarvysevšemivrcholyve Vi+1, i=1,2,... ,2n −3.
Meziprvními2n −3vrcholy v1,v2,...,v2n−3jealespoňpolovina(tj. n −1)takových,že
proněvbodě(iii)nastalatatážbarva,řekněme,žebílá.Tytovrcholyspolusposledním
v2n−2vytvoří Kn,majícítakvšechnyhranybílé.
Nejmenšíčíslo mveVětě11senazýváRamseyovočíslo R(n).Jehopřesnáhodnota
neníznámakroměněkolikajednoduchýchpřípadů: R(2)=2, R(3)=6aR(4)=18.Pro
R(5)jenapř.známodhad41 ≤ R(5) ≤49,apod.
Cvičení.
(1) Uvažujmejednoduchýgraf Gsešestivrcholy.
(a) MůžebýtvGsoučasněvrcholstupně0avrcholstupně5?
(b)Obsahuje-li Gprávědvavrcholytéhožstupně,mohoutobýtstupně0nebo5?
(c) Jemožné,abykaždývrcholvGbyljinéhostupně?
(2) Komplement G c grafu Gjegrafsestejnýmivrcholy,kdedvavrcholyjsouspojeny
hranouvG c právě,kdyžnejsouspojenyvpůvodnímgrafu G.Ukažte,žealespoň
jedenzdvojice GaG c jevždysouvislýgraf.

(3) Silničnísíťdanéhookresuspojuje2nobcítak,žezkaždéobcevede nsilnicdo n
sousedníchobcí.Existujesilničníspojenízlibovolnéobcedolibovolnéobce?
(4) Mají-lihranyvsouvislémgrafunavzájemrůznéohodnocení,pakexistujejediná
minimálníkostra.
(5) Ukažte,žegrafjebipartitníprávě,kdyžneosahujekružnicilichédélky.
(6) k-rozměrnákrychlemápárováníobsahujícívšechnyvrcholy, k ≥1.
(7) Kolikpárováníobsahujícívšechnyvrcholymá K2n?
(8) Kolikpárováníobsahujícívšechnyvrcholymástrom?
(9) Naleznětenekonečnýbipartitnígraf,vekterémjesplněnapodmínka(*)zVěty9,a
přestoneexistujeúplnépárování.
(10) Mějmestrom To50hranách.Odstraněnímjednéhranysestrom Trozpadnenadva
stromy T1a T2,okterýchplatí,žepočethranvT1serovnápočtuvrcholůvT2.
Určetepočtyvrcholůpro T1a T2.
(11) Ukažte,žesouvislýgrafsnvrcholyjestromprávě,kdyžsoučetstupňůvšechvrcholů
je2(n −1).
(12) Vsouvislémgrafumajíjakékolidvěcestymaximálnídélkyspolečnývrchol.
(13) Předpokládejme,žejistáhranasouvisléhografupatřídokaždékostrytohotografu.
Colzeotétohraněříci?
(14) Uvažujmesouvislýgraf Goalespoňdvouvrcholech.Ukažte,ževGexisujídva
vrcholytakové,žeodstraněnímjednohonebodruhéhozůstanegrafsouvislý.
(15) Mějmebipartitnígraf G=(V,E), V = A ∪ B,kterýmáúplnépárovánízAdo B,
tj.platípodmínka(*)zVěty9.
(a) Platí-lidokonce |N(S)| ≥ |S|+1prokaždouvlastnípodmnožinu S ⊂ A,pak
všechnyvrcholy a ∈ Amajívlastnost,žeprokaždouhranu abnaleznemevG
úplnépárovánízAdo Bobsahujícíhranu ab.
(b)Je-li S ⊂ Aminimálnímnožina,prokterouplatí |N(S)|=|S|,pakkaždývrchol
a ∈ Smávlastnost,žeprokaždouhranu abnaleznemevGúplnépárovánízA
do Bobsahujícíhranu ab.
(c) Ukažte,ževgrafu Gexistujevrchol a ∈ A,žeprokaždouhranu abnalezneme
v GúplnépárovánízAdo Bobsahujícíhranu ab.
(d)Je-listupeň d(a)=dprovšechnyvrcholy a ∈ A,pakvGexisujealespoň N
úplnýchpárování,kde
d! pro d ≤ |A|,
N=
d(d −1) · · ·(d − |A|+1) pro d > |A|.
15

16
(16) Dvahráčihrajínasouvislémgrafu G=(V,E)hruspočívajícívestřídavémvybírání
různýchvrcholů u1,u2,... tak,ženáslednývrchol ui+1musíbýtspojenhranous
předchozím ui.Poslední,kdomůžetakovýtahučinit,vyhrává.Ukažte,žeprvníhráč
mávyhrávajícístrategiiprávě,kdyžvgrafu Gneexistujepárováníobsahujícívšechny
vrcholy(tzv.perfektnípárování).
(17) Ukažte,žekaždýgrafošestivrcholechobsahujebuď K3nebo K c 3 .
Řešení.
(1a),(1b),(1c)Navšechnyotázkyjeodpověďnegativní.
(2)Není-li Gsouvislý,pakkaždývrcholvkaždézjehokomponentjevG cspojenhranou sevšemivrcholyvostatníchkomponentách.
(3)Kdybygrafznázorňujícíspojenímeziobceminebylsouvislý,pakkaždájehokomponentamánutněalespoň
n+1vrcholů,cožnelze.
(5)Můžemepředpokládat,žegraf Gjesouvislý,jinakprovedemenásledujícíúvahyvkaždé
komponentěsouvislosti.Je-ligrafbipartitnísmnožinouvrcholů A ∪B,pakpřiprocházení
kružnicísenanístřídajívrcholyzAavrcholyzB.Přinavrácenísedovýchozíhobodu
jsmetaknutněmuseliprojítsudýpočethran.Obráceně,máme-lisouvislýgraf,kdese
každákružniceskládázesudéhopočetuhran,rozdělímemnožinuvrcholů V načásti Aa
Bnásledovně.Nechť Tjekostragrafu Gav∈Tlibovolný.Tentovrcholdámedomnožiny
A.Ostatnívrcholydámedomnožiny Anebo Bpodletoho,jestlisekněmudostanemez
vrcholu vcestouvTmajícísudýnebolichýpočethran.
(6)Párovánítvoříhrany,kteréspojujívrcholylišícíseprávěvprvnísouřadnici.
(7)Protožehranajeurčenadvojicívrcholů,vybírámedvojicevrcholůvK2n.Prvnídvojici
vybereme 2n 2n−2
2 způsoby,druhou 2 způsobyatd.Protoženezáležínapořadí,vjakém
hranyvybíráme,výsledekdělíme n!,cožpoúpravědá(2n)!/(2 nn!). (8)Jediné,má-lisudýpočetvrcholůažádné,má-lilichýpočetvrcholů.
(9)Např.graf G=(A ∪ B,E),kde A={0,1,2,... }, B= {1,2,... }ahranyjsou
E= {k,k} k ≥1 ∪ {0,k} k ≥1 .
(10) |V1|=26, |V2|=25.
(11)Součetstupňůjerovendvojnásobkupočtuhran,grafmátedy n −1hran.Jedna
implikaceplynezVěty6adruházfaktu,žegrafsn −1hranamijepodleVěty2(i)
minimálnísouvislý.Nynípoužijemecharakterizacistromu,Větu4(ii).
(12)Mějme P=(u0 ...un)aP ′ =(u ′ 0 ... u′ n)dvěmaximálnícestyapředpokládejme,že
P ∩ P ′ = ∅.Existujecesta Q=(u0 ...u...u ′ ...u ′ n)spojující u0a u ′ n,kde ujeposlední
vrcholna Qpatřícído P a u ′ jeprvnívrcholna Qležícíza uapatřícído P ′ .Jednaz
částí(u0 ... u)a(u...un)cesty P jedlouháalespoňjakopolovina P apodobnějednaz
částí(u ′ 0 ...u′ )a(u ′ ...u ′ n)cesty P ′ jedlouháalespoňjakopolovina P ′ .Spojenímtěchto
delšíchčástípomocíúseku(u... u ′ )cesty Qbyvznikladelšícestanežmaximální.
(13)Jetohrana,jejížodstraněnímsegrafrozpadnenadvěkomponenty.
(14)Zvoltekostruvgrafu GapoužijteVětu5.
(15a)Zvolímehranu ab.Poodebránívrcholů aabzgrafu Gbudezbylýpodgrafsplňovat
podmínku(*).

(15b)Úplněstejnýargumentjakov(15a).
(15c)Grafmánutnějednuzvlastností(15a)nebo(15b).
(15d)Podle(15c)existujevrchol a ∈ A,želibovolnouhranu ablzedoplnitnapárování.V
tomtoprvnímkrokutakmáme dmožností.Odebránímvrcholů aabbudoumítvrcholy
v Astupeňalespoň d −1.Aplikujeme(15c)natentopodgrafapostupopakujemedokud
tolze.
(16)Má-ligrafperfektnípárování,odpovídáhráčč.2natahhráčeč.1tak,ževolívrchol,
kterýjespojenhranouperfektníhopárovánísvrcholem,ježzvolilhráčč.1.Takhráčč.2
vždyvyhraje,atedyhráčč.1nemávyhrávajícístrategii.
Nemá-ligrafperfektnípárování,zvolímesijakékolipárování F ⊂ E,kterémámaximální
počethran.Vrcholytvořící koncehranpárování F označme U ⊂ V.Protože F není
perfektní,existujevrchol u1,doněhožnevedežádnáhranazF.Tojeprvnívolbahráče
č.1.Hranyvycházejícízvrcholu u1musíkončitvmnožině U,jinakby Fnebylomaximální.
Hráčč.2musítakvolitvrcholzu2 ∈ Uaodpověďhráčeč.1jevrchol u3,že u2u3 ∈ F.
Dalšípostupjestejný,hráčč.2musínutněvybrat u4 ∈ U,protože Fjemaximální,ahráč
č.1volí u5tak,aby u4u5 ∈ F.Tímtozpůsobemmáhráčč.1zaručeno,žepokaždévyhraje,
tj.mávyhrávajícístrategii.
(17)Zvolmevrchol vlibovolně.Tenjespojensnějakýmivrcholy u1,u2a u3buďvgrafu
GnebovG c .Předpokládejme,ženastalaprvnímožnost,druháseřešíanalogicky.Jsou-li
některézvrcholů u1,u2,u3spojenymezisebouhranou,vytvořísvrcholem vtrojúhelník,
tj. K3.Nevede-limezi u1,u2,u3žádnáhrana,tvoří K c 3 .
17