(CSP – Constraint Satisfaction Problems) Jiˇr´ı

Základy umělé inteligence
3. Problémy s omezujícími podmínkami
(CSP – Constraint Satisfaction Problems)
Jiˇrí Kubalík
Katedra kybernetiky, ČVUT-FEL
http://cw.felk.cvut.cz/doku.php/courses/y33zui/start

pProblémy s omezujícími podmínkami
(Constraint Satisfaction Problems – CSP)
:: Standardní prohledávací problém
stav je černá skˇríňka s neznámou (a nevyuˇzitou) strukturou,
na kter´y se aplikují funkce následník (expanze), heuristická funkce a cílov´y test.
Problémy s omezujícími podmínkami

pProblémy s omezujícími podmínkami
(Constraint Satisfaction Problems – CSP)
:: Standardní prohledávací problém
stav je černá skˇríňka s neznámou (a nevyuˇzitou) strukturou,
na kter´y se aplikují funkce následník (expanze), heuristická funkce a cílov´y test.
:: CSP
mnoˇzina proměnn´ych X1, X2, . . . , Xn; kaˇzdá proměnná Xi nab´yvá hodnot z oboru Di,
mnoˇzina omezení C1, C2, . . . , Cm; kaˇzdé omezení Cj se t´yká určité podmnoˇziny proměnn´ych
a určuje pˇrípustné kombinace hodnot těchto proměnn´ych,
stav je definován jako pˇriˇrazení hodnot proměnn´ym (vˇsem anebo pouze někter´ym), napˇr.
{Xi = vi, Xj = vj, . . . },
Pˇriˇrazení, které splňuje vˇsechna omezení se naz´yvá konzistentní (pˇrípustné).
Pˇriˇrazení, ve kterém mají vˇsechny proměnné pˇriˇrazenu nějakou hodnotu se naz´yvá úplné.
ˇReˇsení CSP je úplné pˇriˇrazení, které vyhovuje vˇsem omezením,
některé CSP navíc hledají takové ˇreˇsení, které maximalizuje jistou účelovou funkci.
Problémy s omezujícími podmínkami

pPˇríklad: Barvení grafu
:: Barvení grafu
proměnné: W A, NT, SA, Q, NSW, V, T ,
domény: Di = {red, green, blue},
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
omezení: Sousední oblasti musí b´yt jiné barvy.
Definice v´yčtem: pro WA–NT {(red, green), (red, blue), (green, red), (green, blue),
(blue, red), (blue, green)}
Definice podmínkou: {W A = NT }
Problémy s omezujícími podmínkami

pPˇríklad: Barvení grafu 2
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
ˇReˇsení: {W A = red, NT = green, Q = red, NSW = green, V = red, SA = blue, T = red}
Problémy s omezujícími podmínkami

pGraf omezení
:: Vizualizace CSP grafem omezení
uzly – proměnné,
hrany – omezení.
:: V´yhody CSP
standardní reprezentace stav˚u umoˇzňuje
− aby funkce následníka a cílov´y test byly
navrˇzeny obecně,
− návrh efektivních a obecn´ych heuristik,
nevyˇzadujícíhc ˇzádnou problémověspecifickou
znalost.
struktura grafu omezení umoˇzňuje dekompozici
problému.
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
Problémy s omezujícími podmínkami

pCharakteristiky CSP: Typy proměnn´ych
:: Diskrétní proměnné
konečné obory hodnot Di
− barvení grafu, 8-královen, . . .
− boolovské CSP – proměnné nab´yvají pouze hodnot true a false, napˇr. 3SAT (NP-complete),
nekonečné obory hodnot (integers)
− napˇr. rozvrhování úloh – proměnné jsou startovní časy jednotliv´ych úloh,
− nutn´y jazyk pro popis omezení (v´yčet není moˇzn´y) – StartJob1 + 5 ≤ StartJob3,
− někdy moˇzno transformovat nekonečné obory hodnot na konečné (napˇr. definováním horní
meze pro StartJobi jako suma trvání vˇsech úloh),
− algoritmy pro ˇreˇsení lineárních CSP s integer proměnn´ymi, pro nelineární CSP neexistují.
:: Spojité proměnné
velice časté reálné úlohy – plánování akcí Hubblova teleskopu,
CSP s lineárními omezeními jsou ˇreˇsitelné pomocí metod lineárního programování.
Problémy s omezujícími podmínkami

pCharakteristiky CSP: Typy omezení
:: unární omezení – omezuje hodnoty jedné proměnné napˇr. obyvatelé Jiˇzní Austrálie nesnáˇsejí
zelenou; toto lze vˇzdy oˇsetˇrit redukcí oboru hodnot dané proměnné.
:: binární omezení – vztah mezi dvěmi proměnn´ymi, napˇr. SA = NSW .
:: omezení vyˇsˇsího ˇrádu – relace tˇrí a více
proměnn´ych.
Kaˇzdé takové omezení lze transformovat na
mnoˇzinu binárních omezení, za pouˇzití pomocn´ych
proměnn´ych.
Pˇr.: Mějme CSP s omezeními
X + Y = Z,
X < Y ,
X ∈ {1, 2}, Y ∈ {3, 4} a Z ∈ {5, 6}
:: preference – určují, jaká ˇreˇsení jsou preferována; optimalizační problém s omezeními.
Napˇr. pˇri vytváˇrení ˇskolního rozvrhu víme, ˇze Kubalík straˇsně nerad učí v pátek odpoledne. Potom
rozvrh, kde má Kubalík naplánovánu pˇrednáˇsku na páteční podvečer, ale kter´y splňuje vˇsechna
absolutní omezení, bude stále platn´ym ˇreˇsením, ikdyˇz neoptimálním.
Problémy s omezujícími podmínkami

pPˇríklad: Kryptogram
proměnné – F, T, U, W, R, O,
domény – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
omezení – kaˇzdé písmeno je nahrazeno jinou číslicí;
omezení ˇsesti proměnn´ych Alldiff(F, T, U, W, R, O),
anebo kolekce binárních omezení typu F = T ,
navíc: O + O = R + 10X1, X1 + W + W = U + 10X2, X2 + T + T = O + 10X3, X3 = F
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
Problémy s omezujícími podmínkami

pInkrementální formulace CSP
:: CSP formulován jako standardní prohledávací problém
počáteční stav – reprezentován prázdn´ym pˇriˇrazením {},
funkce následníka – pˇriˇradí hodnotu doposud nepˇriˇrazené proměnné tak, aby nevznikl konflikt
s ˇzádnou uˇz pˇriˇrazenou proměnnou,
cílov´y test – pˇriˇrazení je úplné,
cena cesty – konstantní (tj. 1) pro vˇsechny kroky.
:: Poznámky
vˇsechna ˇreˇsení jsou v hloubce n, takˇze prohledávání do hloubky m˚uˇze b´yt s v´yhodou
pouˇzito,
nezáleˇzí na cestě =⇒ úplná formulace CSP, kde kaˇzd´y stav je úpln´y (m˚uˇze a nemusí b´yt
konzistentní), takˇze m˚uˇzeme pouˇzít lokální prohledávací algoritmy (hill-climbing).
Problémy s omezujícími podmínkami

pKomutativnost problému
:: Poznámka k velikosti prohledávaného stromu
větvicí faktor v koˇrenovém uzlu je
b = nd,
kde n je počet proměnn´ych a d počet hodnot, kter´ych proměnné mohou nab´yvat.
V dalˇsí vrstvě je to b = (n − 1)d, atd.
Celkem tedy máme strom s n! · d n listy !!!
Pˇritom evidentně existuje pouze d n úpln´ych ohodnocení !!!
Problémy s omezujícími podmínkami

pKomutativnost problému
:: Poznámka k velikosti prohledávaného stromu
větvicí faktor v koˇrenovém uzlu je
b = nd,
kde n je počet proměnn´ych a d počet hodnot, kter´ych proměnné mohou nab´yvat.
V dalˇsí vrstvě je to b = (n − 1)d, atd.
Celkem tedy máme strom s n! · d n listy !!!
Pˇritom evidentně existuje pouze d n úpln´ych ohodnocení !!!
:: Naˇstěstí je CSP komutativní – poˇradí akcí, generujících ˇreˇsení, nemá vliv na v´ysledek.
Takˇze W A = red potom NT = green
je stejné jako
NT = green potom W A = red.
Proto vˇsechny CSP prohledávací algoritmy uvaˇzují pˇri generování následníka uzlu n r˚uzná
pˇriˇrazení pouze pro jednu proměnnou.
S tímto omezením uˇz dostáváme očekávan´y počet list˚u (d n ).
Problémy s omezujícími podmínkami

pBacktracking pro CSP: Algoritmus
:: Prohledávání s backtrackingem
pouˇzívá prohledávání do hloubky,
generuje r˚uzná pˇriˇrazení pouze jedné proměnné v daném uzlu a
navrací se, kdyˇz nelze pˇriˇradit ˇzádnou hodnotu dané proměnné, aniˇz by nebylo poruˇseno některé
z absolutních omezení.
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
Problémy s omezujícími podmínkami

pBacktracking pro CSP: Ukázka
:: Na kaˇzdé úrovni a v kaˇzdém uzlu se ˇreˇsí pouze jedna proměnná v poˇradí – WA, NT, Q, ...
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
Problémy s omezujícími podmínkami

pBacktracking pro CSP: Ukázka
:: Na kaˇzdé úrovni a v kaˇzdém uzlu se ˇreˇsí pouze jedna proměnná v poˇradí – WA, NT, Q, ...
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
:: Funguje to, ale je to neefektivní (neinformované prohledávání).
Problémy s omezujícími podmínkami

pZv´yˇsení efektivity algoritm˚u prohledávání pro CSP
:: Sloˇzitost CSP
ˇspatná zpráva - CSP zahrnuje NP-complete problémy, takˇze nelze očekávat, ˇze se nám
podaˇrí obecně ˇreˇsit tyto problémy v lepˇsím neˇz exponenciálním čase.
dobrá zpráva – Existují obecné algoritmy pro CSP, které umí sníˇzit časovou náročnost
prohledávání o několik ˇrád˚u.
Problémy s omezujícími podmínkami

pZv´yˇsení efektivity algoritm˚u prohledávání pro CSP
:: Sloˇzitost CSP
ˇspatná zpráva - CSP zahrnuje NP-complete problémy, takˇze nelze očekávat, ˇze se nám
podaˇrí obecně ˇreˇsit tyto problémy v lepˇsím neˇz exponenciálním čase.
dobrá zpráva – Existují obecné algoritmy pro CSP, které umí sníˇzit časovou náročnost
prohledávání o několik ˇrád˚u.
:: Obecné (nezávislé na konkrétním problému) metody se zaměˇrují na tyto otázky:
která proměnná má b´yt pˇriˇrazena jako následující?
jaké jsou d˚usledky jiˇz zvolen´ych pˇriˇrazení pro ostatní nepˇriˇrazené proměnné?
m˚uˇzeme dopˇredu detekovat nevyhnutelné selhání?
m˚uˇzeme se nějak vyhnout opětovnému vygenerování nesplnitelného stavu?
m˚uˇzeme nějak vyuˇzít strukturu problému?
Problémy s omezujícími podmínkami

pVolba proměnné: Minimum Remaining Values (MRV)
:: Minimum remaining values – heuristika, která volí proměnnou s nejmenˇsím počtem
pouˇziteln´ych hodnot.
V´yběr proměnné, u které je největˇsí pravděpodobnost, ˇze zp˚usobí konflikt.
Pokud je nějaká proměnná s prázdnou mnoˇzinou ”pˇriˇraditeln´ych” hodnot, bude vybrána pro
pˇriˇrazení a tím bude detekován konflikt.
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
:: MRV nám nepom˚uˇze pˇri v´yběru počáteční proměnné.
Problémy s omezujícími podmínkami

pVolba proměnné: Degree heuristic (DH)
:: Degree heuristic – heuristika, která volí proměnnou svázanou největˇsím počtem omezení s
ostatními doposud nepˇriˇrazen´ymi proměnn´ymi
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
MRV je obvykle silnějˇsí pravidlo, ale DH b´yvá pouˇzívána pro ˇreˇsení nerozhodn´ych situací u
MRV.
Problémy s omezujícími podmínkami

pV´yběr hodnoty: Least-Constraining-Value (LCV)
:: Least-Constraining-Value – heuristika, která volí takovou hodnotu, která co nejméně omezí
počet moˇzn´ych hodnot u jeˇstě nepˇriˇrazen´ych sousedních proměnn´ych
:: Pˇríklad
máme částečné pˇriˇrazení W A = red a NT = green a chceme zvolit hodnotu pro Q (red
nebo blue?),
pokud zvolíme Q = blue, potom SA uˇz nelze ohodnotit,
ale pokud zvolíme Q = red, poˇrád jeˇstě m˚uˇzeme pˇriˇradit SA = blue.
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
Je to jedno, kdyˇz chceme najít vˇsechna ˇreˇsení, anebo kdyˇz ˇreˇsení neexistuje.
Problémy s omezujícími podmínkami

pVyuˇzití omezení pro zefektivnění prohledávání
:: Forward checking – pˇri kaˇzdém pˇriˇrazení hodnoty některé proměnné X, vymaˇzeme ze vˇsech
doposud neohodnocen´ych sousedních (v grafu omezení) proměnn´ych vˇsechny hodnoty nekonzistentní
s hodnotou pˇriˇrazenou proměnné X.
redukce faktoru větvení u později zpracovávan´ych proměnn´ych,
ukončí prohledávání, kdyˇz uˇz nějaká proměná nemá ˇzádnou pˇrípustnou hodnotu,
efektivní zp˚usob získávání informace, kterou vyuˇzívá MRV.
Problémy s omezujícími podmínkami

pVyuˇzití omezení pro zefektivnění prohledávání
:: Forward checking – pˇri kaˇzdém pˇriˇrazení hodnoty některé proměnné X, vymaˇzeme ze vˇsech
doposud neohodnocen´ych sousedních (v grafu omezení) proměnn´ych vˇsechny hodnoty nekonzistentní
s hodnotou pˇriˇrazenou proměnné X.
redukce faktoru větvení u později zpracovávan´ych proměnn´ych,
ukončí prohledávání, kdyˇz uˇz nějaká proměná nemá ˇzádnou pˇrípustnou hodnotu,
efektivní zp˚usob získávání informace, kterou vyuˇzívá MRV.
:: Závěr – forward checking detekuje hodně nekonzistencí, ale ne vˇsechny.
Co NT = SA = blue ?
Problémy s omezujícími podmínkami

pPropagace omezení (constraint propagation)
:: Základní myˇslenka
propagovat d˚usledky omezení u jedné proměnné na dalˇsí relevantní proměnné,
a potˇrebujeme to dělat rychle.
:: Hranová konzistence (arc consistency)
hrana – orientovaná hrana z jednoho uzlu do druhého v grafu omezení (napˇr. SA → NSW ),
hrana X → Y je konzistentní pˇri aktuálních doménách Dx a Dy, jestliˇze pro kaˇzdou
hodnotu x ∈ Dx existuje alespoň jedna hodnota y ∈ Dy konzistentní s x.
Jak se to dá napravit?
Pˇríklad: Uvaˇzujme hrany SA → NSW a NSW → SA
pˇri DSA = {blue}, DNSW = {red, blue}
SA → NSW je konzistentní:
pro SA = blue ex. NSW = red
NSW → SA není konzistentní:
pro NSW = blue neex. ˇzádné povolené pˇriˇrazení pro SA
Problémy s omezujícími podmínkami

pPropagace omezení (constraint propagation)
:: Základní myˇslenka
propagovat d˚usledky omezení u jedné proměnné na dalˇsí relevantní proměnné,
a potˇrebujeme to dělat rychle.
:: Hranová konzistence (arc consistency)
hrana – orientovaná hrana z jednoho uzlu do druhého v grafu omezení (napˇr. SA → NSW ),
hrana X → Y je konzistentní pˇri aktuálních doménách Dx a Dy, jestliˇze pro kaˇzdou
hodnotu x ∈ Dx existuje alespoň jedna hodnota y ∈ Dy konzistentní s x.
Jak se to dá napravit?
Pˇríklad: Uvaˇzujme hrany SA → NSW a NSW → SA
pˇri DSA = {blue}, DNSW = {red, blue}
SA → NSW je konzistentní:
pro SA = blue ex. NSW = red
NSW → SA není konzistentní:
pro NSW = blue neex. ˇzádné povolené pˇriˇrazení pro SA
Odstraněním blue z DNSW. Co odhalí test hranové konzistence SA → NT ?
Problémy s omezujícími podmínkami

pHranová konzistence: Sloˇzitost algoritmu
:: Po vyjmutí hodnoty z domény proměnné Xi (ve snaze odstranit nekonzistenci) se m˚uˇze vyskytnout
nová nekonzistence na hranách směˇrujících do proměnné Xi =⇒ hranová konzistence
musí b´yt kontrolována opakovaně, dokud nejsou odstraněny vˇsechny nekonzistence.
:: Algoritmus AC-3
algoritmus AC-3 udrˇzuje seznam hran, které mají b´yt zkontrolovány,
po vyjmutí hodnoty z domény proměnné Xi, vˇsechny hrany (Xk, Xi) musí b´yt pˇridány do
seznamu,
na konci algoritmu jsou bu ˇ d vˇsechny hrany konzistentní anebo některá proměnná má prázdnou
doménu, coˇz značí, ˇze prohledávání je v nesplnitelné větvi.
:: Sloˇzitost algoritmu AC-3: n proměnn´ych, kaˇzdá m˚uˇze nab´yvat d r˚uzn´ych hodnot
Graf omezení pro binární CSP obsahuje maximálně O(n 2 ) hran,
kaˇzdá hrana (Xk, Xi) m˚uˇze b´yt vloˇzena do seznamu kontrolovan´ych hran maximálně d-krát,
protoˇze Xi má maximálně d hodnot k odstranění,
kontrola konzistence hrany m˚uˇze b´yt provedena v čase O(d 2 ).
Celkov´y čas bude v nejhorˇsím pˇrípadě O(n 2 d 3 ).
:: Kontrola hranové konzistence se i pˇres poměrně značnou časovou náročnost vyplatí.
Problémy s omezujícími podmínkami

pEfekt propagace omezení: 4 dámy na ˇsachovnici
:: Čtyˇri dámy na ˇsachovnici
Promenné X1, X2, X3, X4 vyjadrují rádkovou pozici dámy v n-tém sloupci.
Domény: D1 = D2 = D3 = D4 = 1, 2, 3, 4
počáteční konfigurace graf omezení
Problémy s omezujícími podmínkami

pEfekt propagace omezení: 4 dámy na ˇsachovnici
:: Pro X1 = 1:
počáteční konfigurace po ověˇrení konzistence Xn → X1
Problémy s omezujícími podmínkami

pEfekt propagace omezení: 4 dámy na ˇsachovnici
:: Pro X1 = 1:
po ověˇrení konzistence Xn → X1
po ověˇrení konzistence X3 → X2
Problémy s omezujícími podmínkami

pEfekt propagace omezení: 4 dámy na ˇsachovnici
:: Pro X1 = 1:
po ověˇrení konzistence X3 → X2
po ověˇrení konzistence X4 → X3
Problémy s omezujícími podmínkami

pEfekt propagace omezení: 4 dámy na ˇsachovnici
:: Postup prohledávání s propagací omezení – v´yrazné sníˇzení počtu expandovan´ych uzl˚u,
Problémy s omezujícími podmínkami

pNev´yhody Backtrackingu
:: Chronologick´y backtracking
Kdyˇz selˇze prohledávání v nějakém uzlu, zkusí jinou hodnotu proměnné o úroveň v´yˇse.
Ovˇsem problémy jsou často zp˚usobeny ohodnocením jiné proměnné, neˇz té o úroveň v´yˇse.
Pˇr.:
proměnné:
X1 = {f, a}
X2 = {a, c}
X3 = {d, e}
X4 = {b, f}
X5 = {e, d}
X6 = {a, b, f}
omezení: ˇ Zádné dvě proměnné
nemohou mít stejnou hodnotu.
Problémy s omezujícími podmínkami

pBackjumping
:: Návrat pˇrímo k proměnné, která zp˚usobila selhání.
black list(i) – pro kaˇzdou proměnnou si udrˇzujeme seznam proměnn´ych, které zp˚usobily
selhání pˇri
1. pokusech o její ohodnocení
Do seznamu black list(i) se uloˇzí proměnné, které jiˇz byly ohodnoceny a jejichˇz ohodnocení
je nekonzistentní s nějakou z moˇzn´ych hodnot pro proměnnou i.
2. pˇri snaze o ohodnocení následujících proměnn´ych
Pokud se nepodaˇrilo ohodnotit proměnnou j, tak se navraˇt na nejbliˇzˇsí jiˇz ohodnocenou
proměnnou k ze seznamu black list(j) a uprav její black list(k) takto
black list(k) ←− black list(k) ∪ black list(j) − {k}
Proměnná k si tedy rozˇsíˇrí seznam black list(k) o podezˇrelé proměnné, které mohly b´yt
zodpovědné za neúspěˇsné ohodnocení následujících proměnn´ych.
Pokud vˇsechny moˇznosti ohodnocení proměnné i jsou neúspěˇsné, tak se odskočí na proměnnou
ze seznamu black list(i), která je nejblíˇze proměnné i.
Problémy s omezujícími podmínkami

pBackjumping
1. Algoritmus úspěˇsně ohodnocuje
proměnné aˇz k
proměnné X6.
2. Návrat na proměnnou X4,
která je z proměnn´ych v
black list(X6) = {X1, X2, X4}
nejblíˇze X6.
3. Nové ohodnocení X4 = f
selˇze, proto
black list(X4) = {X1}.
4. black list(X4) se upraví
a pro návrat se vybere X2.
5. Prohledávání pokračuje nov´ym
ohodnocením proměnné X2.
black list(X4) ←− {X1} ∪ {X1, X2, X4} − {X4}
Problémy s omezujícími podmínkami

pLokální prohledávání pro CSP
:: Algoritmy lokálního prohledávání – iterativní optimalizační algoritmy
pracují s úpln´ymi stavy – vˇsechny proměnné mají pˇriˇrazenu nějakou hodnotu,
funkce následník mění hodnotu jedné proměnné.
Pˇríklad: 8-královen na ˇsachovnici
1. počáteční stav je dán náhodn´ym vygenerováním pozic 8 královen v 8 sloupcích; funkce
následník mění libovolně pozici jedné královny v jejím sloupci.
2. počáteční stav je dán náhodn´ym rozmístěním 8 královen, kaˇzdá v jednom sloupci, v permutaci
8 ˇrádk˚u; funkce následník prohodí dvěma královnám jejich ˇrádkové souˇradnice.
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
Problémy s omezujícími podmínkami

pHeuristika minimalizace konflikt˚u
:: Minimalizace konflikt˚u (min-conflicts) – pˇri v´yběru nové hodnoty dané proměnné se snaˇzí
minimalizovat počet konflikt˚u s ostatními proměnn´ymi
pro problém n-královen je její časová sloˇzitost nezávislá na n,
ˇreˇsí milion-královen v pr˚uměru na 50 krok˚u,
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
vhodné pro problémy s mnoha ˇreˇseními hustě rozloˇzen´ymi ve stavovém prostoru.
v 90-t´ych letech tento úspěch zp˚usobil boom ve v´yzkumu lokálních opt. algoritm˚u,
plánování akcí Hubbleova teleskopu; redukce času v´ypočtu ze tˇrí t´ydn˚u na 10 minut!!!
efektivní zp˚usob nalezení ˇreˇsení problému pˇri změněn´ych počátečních podmínkách (pˇreplánování).
Problémy s omezujícími podmínkami

pStruktura problému
:: Dekompozice problému
rozdělení problému CSP na nezávislé podproblémy
CSPi, identifikovatelné jako souvislé komponenty grafu
omezení; pˇr. Tasmánie a Austrálie.
:: Co tím získáme?
Pˇredpokládejme CSP s n proměnn´ymi a kaˇzd´y podproblém CSPi má c proměnn´ych.
Máme tedy n/c podproblém˚u; kaˇzd´y z nich o velikosti stavového prostoru d c .
Takˇze celková v´ypočetní náročnost je O(d c · n/c), coˇz je lineární sloˇzitost vzhledem k n.
Bez dekompozice je v´ypočetní náročnost O(d n ), coˇz je exponenciální sloˇzitost vzhledem k n.
Pˇríklad: Celkov´y CSP o n = 80 je rozdělen na čtyˇri podproblémy, kaˇzd´y o c = 20 proměnn´ych.
Pˇredpokládejme, ˇze umíme spočítat 10 6 uzl˚u/s. Potom dostaneme:
− 4 · 2 20 =⇒ 4s,
− 2 80 =⇒ 4 miliardy let.
Problémy s omezujícími podmínkami

pStruktura problému
:: Dekompozice problému
rozdělení problému CSP na nezávislé podproblémy
CSPi, identifikovatelné jako souvislé komponenty grafu
omezení; pˇr. Tasmánie a Austrálie.
:: Co tím získáme?
Pˇredpokládejme CSP s n proměnn´ymi a kaˇzd´y podproblém CSPi má c proměnn´ych.
Máme tedy n/c podproblém˚u; kaˇzd´y z nich o velikosti stavového prostoru d c .
Takˇze celková v´ypočetní náročnost je O(d c · n/c), coˇz je lineární sloˇzitost vzhledem k n.
Bez dekompozice je v´ypočetní náročnost O(d n ), coˇz je exponenciální sloˇzitost vzhledem k n.
Pˇríklad: Celkov´y CSP o n = 80 je rozdělen na čtyˇri podproblémy, kaˇzd´y o c = 20 proměnn´ych.
Pˇredpokládejme, ˇze umíme spočítat 10 6 uzl˚u/s. Potom dostaneme:
− 4 · 2 20 =⇒ 4s,
− 2 80 =⇒ 4 miliardy let.
:: Bohuˇzel, reálné problémy neb´yvají takto ”čistě” dekomponovatelné.
Problémy s omezujícími podmínkami

pStromové CSP
:: CSP s grafem omezení neobsahujícím cykly je ˇreˇsiteln´y v lineárním čase O(n).
Pro obecn´y CSP je nejhorˇsí časová sloˇzitost (O(d n )).
:: Algoritmus pro stromové CSP
1. Zvol jednu proměnnou za koˇren stromu (proměnná A) a seˇrad proměnné tak, ˇze kaˇzd´y
rodičovsk´y uzel pˇredchází svoje potomky. Proměnné jsou nyní označeny X1, . . . , Xn, podle
jejich poˇradí v posloupnosti.
2. Projdi proměnné od konce, tj. v poˇradí j = n, . . . , 2, a pro kaˇzdou hranu (Xi, Xj), kde Xi je
rodič Xj, prove ˇ d kontrolu konzistence hrany (Odstraň nevyhovující hodnoty z domény DXi ).
3. Projdi proměnné od začátku, tj. v poˇradí j = 1, . . . , n, a pˇriˇra ˇ d proměnné Xj libovolnou
hodnotu x ∈ DXj , konzistentní s hodnotou Xi, kde proměnná Xi je rodič Xj.
Problémy s omezujícími podmínkami

pJak zaˇrídit stromov´y graf omezení
:: Cycle cutset – redukuje obecn´y graf na strom vyloučením co nejmenˇsího počtu uzl˚u
1. Vyber z celkové mnoˇziny proměnn´ych S nejmenˇsí (?) podmnoˇzinu uzl˚u Sa tak, ˇze v´ysledn´y
graf je strom.
2. Pro vˇsechna moˇzná ohodnocení proměnn´ych mnoˇziny Sa, která vyhovují omezením na Sa
odstraň z domén ostatních proměnn´ych Sb = S \ Sa vˇsechny hodnoty, které nevyhovují
ohodnocení proměnn´ych z Sa,
ˇreˇs strom Sb algoritmem pro stromové CSP. Pokud je nalezeno konzistentní ˇreˇsení pro
Sb, je v´ysledné ˇreˇsení dáno sjednocením aktuálního ohodnocení proměnn´ych mnoˇziny Sa a
nalezeného ˇreˇsení pro Sb.
c○Russel, Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach.
Problémy s omezujícími podmínkami

pLiteratura
Stuart Russell and Peter Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach
Part II Problem Solving
5 Constraint Satisfaction Problems (http://aima.cs.berkeley.edu/2nd-ed/)
Problémy s omezujícími podmínkami