Bipartitní grafy a párování v grafech. - Atrey

Kdy je barvení jednoduché? Párování
TGH10 - Algoritmy pro zamilované
Jan Bˇrezina
Technical University of Liberec
7. května 2010

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Selhání barvících heuristik
• jednoduch´y hladov´y algoritmus
• uspoˇrádání podle stupně
• DeSatur - funkční pro bipartitní grafy

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Bipartitní grafy
Bipartitní graf - je obarviteln´y dvěma barvami.
Tj. V lze rozělit na disjunktní mnoˇziny U a W ,
tak ˇze pro kaˇzdou hranu (u, w) je u ∈ U a w ∈ W .
Algoritmus: Určení zda graf je bipartitní.
1. Procházej graf DF S nebo BF S.
2. Do U dávej liché vrstvy do W dávej sudé vrstvy.
3. Pokud dorazíˇs do jiˇz navˇstíveného vrcholu zkontroluj zda souhlasí
parita vrstev, pokud ne ⇒ cyklus liché délky.

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Správnost algoritmu
Lemma
Graf je bipartitiní právě tehdy, pokud neobsahuje cykly liché délky.
D˚ukaz:
⇒ : V cyklu se musí stˇrídat dvě barvy vrchol˚u, takˇze má sudou délku.
⇐ : Cyklus liché délky není 2-obarviteln´y, tedy ani ˇzádn´y jeho nad-graf
pˇríklady bipartitních
• stromy
• cykly sudé délky
• (netriviální) rovinn´y graf jehoˇz dualní graf má vrcholy sudého stupně
tj. stěny mají sud´y počet hran
tj. graf má pouze cykly sudé délky

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Párování
Dvě hrany sousedí pokud mají společn´y vrchol.
Párování grafu (V, E) je mnoˇzina nesousedících hran M.
Maximální párování = nelze pˇridat dalˇsí hranu.
Největˇsí/nejpočetnějˇsí párování = má maximální moˇzn´y počet hran.
Perfektní párování = pokr´yvá vˇsechny vrcholy.
Pˇríklady.
Platí:
perfektní ⇒ největˇsí ⇒ maximální
Pro ohodnocené hrany: nejdraˇzˇsí perfektní párování, nejlevnějˇsí perfektní
párování (pˇreveditelné na nejdraˇzˇsí)

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Pˇríklady úloh
Pˇriˇrazování úkol˚u n lidí n úkol˚u, w(člověk, úkol) je potˇrebn´y čas (kaˇzd´y
umí něco jiného), optimalizace
- nejlevnějˇsí perfektní párování v bipartitním grafu.
ˇZenitba Kaˇzdá z mnoˇziny ˇzen i ∈ Z má mnoˇzinu Mi ⊂ M
potencionálních ˇzenich˚u. Muˇz je ochoten se oˇzenit pokud o něj ˇzena stojí.
Kolik m˚uˇze b´yt max. sňatk˚u? M˚uˇzou mít vˇsichni svatbu?
Největˇsí popˇr. perfektní párování v bipartitním grafu.

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Párovací algoritmy
Maximální párování : hladov´y algoritmus.
Největˇsí párování - bipartitní grafy: Pˇrevod na problém maximálního toku.
Pˇridání vstupu a v´ystupu, kapacity hran 1. Obrázek.
Největˇsí, obecn´y graf - Edmond˚uv algoritmus Dán graf G a párování P .
Exponovan´y vrchol = vrchol nepokryt´y P .
Alternující cesta = stˇrídá hrany z P a E \ P .
Zlepˇsijící cesta = alternující cesta končící v exponovan´ych vrcholech.
1. Najdi zlepˇsující cestu.
2. Prohod’ její hrany mezi P a E \ P .
3. Pokud existuje zlepˇsující cesta, jdi na 1)
4. Jinak - největˇsí párování

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Správnost algoritmu.
Theorem
Párování je největˇsí pokud neexistuje zlepˇsující cesta.
D˚ukaz:
⇒ - pokud by existovala zlepˇsující, není párování největˇsí.
⇐ - Necht’ P není největˇsí. P ′ je největˇsí a neexistuje zlepˇsující cesta.
• Graf s hranami P ∪ P ′ má stupeň vrchol˚u nejv´yˇse 2.
• Komponenty - cesty a cykly.
• Bud’ totoˇzné v P a P ′ nebo se stˇrídav´ymi hranami z P a P ′ .
• Stˇrídavá, sudá délka ⇒ stejn´y počet hran P a P ′ .
• Stˇrídavá, lichá délka ⇒ zlepˇsující cesta pro P nebo P ′ , spor.

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Hledání zlepˇsující cesty I.
• Procházením do ˇsíˇrky vytváˇríme les s koˇreny v exponovan´ych
vrcholech.
• Kaˇzd´y vrchol v lesa zná pˇredka, tj. i koˇren v.
• Vzdálenost od koˇrene - lich´y/sud´y vrchol.
Květ je cyklus délky 2k + 1, kde k hran je z P .
• Kontrahujeme do bodu a pokračujeme hledáním zlepˇsující cesty na
kontrahovaném grafu.
• Po nalezení ZC na kontrahovaném, expandujeme květ a doplníme
cestu projitím květem jednou nebo druhou stranou. Obrázek.

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Hledání zlepˇsující cesty II.
function Zlepˇsující cesta(graf G, párování P )
Z exponovan´ych vrchol˚u vytvoˇr les F ;
while v je nezpracovan´y sud´y vrchol v F do
while e = (v, w) je nezpracovaná hrana do
if w /∈ F then
while (w, x) ∈ P do
pˇridej (v, w), (w, x) do F ;
(w, x) je zpracovaná;
else if w ∈ F je lich´y then zahod’ hranu (v, w);
else if koˇren v = koˇren w then
return C =zlepˇsující cesta: (koˇren v,. . . , v,w,. . . ,koˇren w);
else
kontrahuj květ → G ′ , P ′ ;
C ′ =Zlepˇsující cesta(G ′ , P ′ );
return C =expanduj květ(C ′ , G);
(v, w) je zpracovaná;
v je zpracovan´y;

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Hranové pokrytí

Kdy je barvení jednoduché? Párování
Vrcholové pokrytí